Aufgabe mit Lösungsweg runterladen: Einströmendes Gas

In einen wärmeisolierten, anfangs evakuierten Behälter strömt Luft aus der Umgebung (Tu= 298,15K, p_U=1bar) bis zum Druckausgleich. Das Einströmen soll als adiabatisch angenommen werden. Das Volumen des Behälter ist V=10 liter.

1)      Zu dem Zeitpunkt t₀ während des Einströmens hat die einströmende Luft eine Geschwindigkeit von 200 m/s. Berechnen Sie die Temperatur im Behälter zu diesem Zeitpunkt.

2)      Berechnen Sie die Temperatur am Ende des Einströmvorganges im Behälter und die Masse des einströmenden Gas. Das heißt, es kommt zum Druckausgleich.

Luft soll als ideales Gas betrachtet werden:

c_p=1,0 J·K^-1·g^-1 und c_V=0,71 J·K^-1·g^-1

Die Änderung der potentiellen Energie soll vernachlässigt werden.

Lösung:

1)

Die allgemeine Gleichung zum 1.Hauptsatz:

  Adiabatisch → ΣQ=0

Keine Arbeit → ΣW=0

Ruhes Behälter → e_kin=0

Vernachlässigen der Änderung der potentiellen Energie → Δ(g·z)=0 und Δ(e_pot)=0

Dann bekommen wir die vereinfachte Gleichung:

 wobei h_ein=c_p·T_ein  und  u=c_V·T

Deswegen ist die Endtemperatur im Behälter:

2)

Das 1.Hauptsatz für geschlossenes System lautet:

dU=δQ+δW_V

Die Änderung der inneren Energie:

Da der Prozess adiabatisch ist, δQ=0

Die Volumenänderungsarbeit:

W_V=δW_V

wobei V₁=V+V_ein, V₂=V → V₁-V₂=V_ein

Jetzt bekommen wir die vereinfachte Darstellung der Volumenänderungsarbeit:

W_V=p_U·V_ein

 Die 1.Hauptsatz lautet dann:

m_ein·c_V·(T₂-T_U)=p_U·V_ein   (1)

Zusätzlich ist die Luft als ideales Gas angenommen:

p_U·V_ein= m_ein·R·T_U         (2)

Einsetzen von Gleichung (2) in die Gleichung (1):

c_V·(T₂-T_U)= R·T_U

 Am Ende des Einströmens gilt das Geset für ideales Gas:

p_U·V= m_ein·R·T_U